含参量积分考研考研几?

牟岚莉牟岚莉最佳答案最佳答案

作为两所985数学系本科,两所985计算机系硕士,以下答案纯属个人看法,可能不够完备。 先说结论:如果只考虑计算难度,含参量积分比不带参数积分更简单;如果考虑考题类型,含参量积分比不带参量的更难考。 原因如下: 对于带参数的积分 其被积函数中包含未知数,\int_{a}^{b} f(x,\alpha) dx 的意义取决于 \alpha 的取值。若 \alpha 从某个区间取值,则此积分的值等于这个区间的和,显然此时积分是可解的。若 \alpha 在整个定义域内取值,则此积分无解(对任意给定的 a,b 有且仅有无数个 \alpha 使得该积分有意义并确定值)。

在求解定积分的时候,我们需要先确定 \alpha 的取值范围才能进行求解,而在求解变上限积分的时候甚至需要确定所有子区间的 \alpha 值。这也就意味着对于含有参数的积分,其被积函数中未知数的个数总大于等于积分的定义域个数。而对于不带参量的积分,除被积函数存在有限项因式分解外,其被积函数中不可能出现未知数,因此积分的定义域个数和被积函数中的未知数个数必然相等。

当然对于带参数的积分,我们仍然可以像不含参数的积分一样对其作变量替换以降低求解难度。但需要注意的是,这种做是不唯一的(例如对于下证 证明中令 u=t^2+1/t,v=s^2-1/s 即是两个不同的变量替换),而不同变量替换产生的积分方程其解也是不确定的。这就为含参数的积分增加了一定的不确定性。 而对于带参数的积分,由于其被积函数中未知数的个数总是大于不含参数积分的被积函数中的未知数个数,因此在相同条件下,含参数量积分更容易发散。这是由积分的性质决定的。

事实上如果考虑一个简单的例子: 当 时,被积函数在区间 可导且 为极小正数,因此在 处可展开成泰勒级数并取前两项得 所以 这就是一个显性的带参数积分比不带参数积分更困难的情况。而当 趋于无穷大时,被积函数 发散,所以原积分无界。

我来回答
请发表正能量的言论,文明评论!